ادامه حل تمرین صفحه 125 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 11 صفحه 126 حسابان دوازدهم سلام! برای تعیین بازه‌های صعودی و نزولی یک تابع، باید **علامت مشتق اول ($f'(x)$)** را بررسی کنیم. 💡 * **$f'(x) > 0 \implies$ صعودی** * **$f'(x) < 0 \implies$ نزولی** --- ## الف) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 7$ ### 1. محاسبه مشتق و یافتن نقاط بحرانی $$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$$ نقاط بحرانی را با قرار دادن $f'(x) = 0$ پیدا می‌کنیم: $$6x^2 - 6x - 12 = 0 \quad \xrightarrow{\text{تقسیم بر } 6} \quad x^2 - x - 2 = 0$$ $$(x - 2)(x + 1) = 0$$ $$\text{نقاط بحرانی:} \quad x = 2 \quad \text{و} \quad x = -1$$ ### 2. تعیین علامت مشتق $f'(x)$ یک سهمی رو به بالا است که ریشه‌های آن $-1$ و $2$ هستند. پس: | بازه | $(-\infty, -1)$ | $-1$ | $(-1, 2)$ | $2$ | $(2, +\infty)$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{علامت } f'(x)$ | $\mathbf{+}$ | $0$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ | | $\text{روند } f(x)$ | $\nearrow$ (صعودی) | $\text{ماکزیمم}$ | $\searrow$ (نزولی) | $\text{مینیمم}$ | $\nearrow$ (صعودی) | ### 3. نتیجه‌گیری بازه‌های یکنوایی * **بازه‌های صعودی:** $$athbf{(-\infty, -1] \text{ و } [2, +\infty)}$$ * **بازه‌های نزولی:** $$athbf{[-1, 2]}$$ --- ## ب) $f(x) = \frac{x}{x - 2}$ ### 1. محاسبه مشتق و یافتن نقاط بحرانی از قاعده خارج قسمت استفاده می‌کنیم ($u = x, u' = 1$ و $v = x - 2, v' = 1$): $$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(1)(x - 2) - (x)(1)}{(x - 2)^2} = \frac{x - 2 - x}{(x - 2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-2}{(x - 2)^2}$$ نقاط بحرانی: * **$f'(x) = 0$:** صورت برابر $-2$ است و هرگز صفر نمی‌شود. * **$f'(x)$ ناموجود:** در ریشه مخرج ($x=2$) مشتق ناموجود است. $$\text{نقطه مرزی دامنه:} \quad x = 2 \quad (\text{مجانب قائم})$$ ### 2. تعیین علامت مشتق * **صورت:** $-2$ (همیشه منفی) * **مخرج:** $(x - 2)^2$ (همیشه مثبت به ازای $x \neq 2$) $$\text{علامت } f'(x) = \frac{\text{منفی}}{\text{مثبت}} = \mathbf{\text{منفی}}$$ ### 3. نتیجه‌گیری بازه‌های یکنوایی چون $f'(x)$ در کل دامنه (به جز $x=2$) منفی است، تابع در هر بازه از دامنه‌اش **نزولی** است. * **دامنه:** $D_f = \mathbb{R} - \{2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$ * **بازه‌های صعودی:** $$athbf{\text{ندارد}}$$ * **بازه‌های نزولی:** $$athbf{(-\infty, 2) \text{ و } (2, +\infty)}$$ (توجه: تابع در کل دامنه $\mathbb{R} - \{2\}$ نزولی نیست، بلکه فقط در هر کدام از بازه‌های تشکیل‌دهنده دامنه‌اش نزولی است.)